Логарифмическое дифференцирование
Свойства дифференцируемых функций Возрастание и убывание функции в точке и на интервале
Локальный максимум и локальный минимум функции
Теорема Ролля Теорема Лагранжа
Теорема Коши Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.
Пусть функция
дифференцируема в точке x и принимает в этой точке положительное значение. Тогда в окрестности этой точки существует функция
Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию аргумента x с промежуточным аргументом y. Продифференцируем эту функцию:
. Из этого соотношения можно выразить производную
:
. Такая операция нахождения производной после предварительного логарифмирования называется логарифмическим дифференцированием. Существуют функции, производную которых можно найти только таким способом. К числу этих функций относится степенно-показательная функция
, где
и
– дифференцируемые функции аргумента x. В качестве примера найдём производную этой функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Прологарифмируем эту функцию:
.
Продифференцируем обе части полученного равенства:
, отсюда (т.к.
.
Раскрыв скобки, получим окончательную формулу
(13.1)
Рассмотрим пример конкретной функции.
Пример. Найти производную функции
.
Решение. Можно сразу воспользоваться формулой (13.1), но можно выполнить логарифмическое дифференцирование и непосредственно:
,
.
Бывают случаи, когда применение логарифмического дифференцирования не необходимо, но целесообразно. Пусть, например,
. Конечно, в этом случае можно непосредственно воспользоваться правилами вычисления производной, но логарифмическое дифференцирование упрощает выкладки:
,
,
.
Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде:
у¢ + a(x)y = b(x). (9)
Здесь a(x) ‑ некоторая функция аргумента x. Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b(x) в правой части (9) равной нулю. Представив уравнение у¢ + a(x)y = 0 в виде
,
после интегрирования получаем
или
. (10)
Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y(0) = 0.
Пример. Решить уравнение y’ + 2xy = 0 при начальном условии y(0) = 3.
В этом случае
a(x) = 2x,
и начальное условие определяет A = 3. Искомое решение имеет вид
.
Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (10) A = A(x), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x. Этот метод называется методом вариации произвольной постоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (9) при условии, что b(x) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (10) получаем:
;
.
После подстановки этих выражений уравнение (9) принимает вид
,
откуда следует уравнение относительно функции
:
,
с решением
.
Подставив это выражение в (10), получим общее решение уравнения (9):
. (11)
| На главную |
