Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Примеры вычисления производной.

Определение производной

Задача вычисления скорости  прямолинейного движения точки. Пусть материальная точка движется по прямой, причём закон движения точки задаётся уравнением S=f(t), где S есть путь, пройденный точкой от момента начала движения до момента времени t. Предположим вначале, что точка движется равномерно, т.е. за равные отрезки времени проходит равные отрезки пути.

Задачи, приводящие к понятию производной Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести.

Механический и геометрический смысл производной. Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Понятие дифференцируемости функции

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Для того чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке x, необходимо:

 - аргументу x дать приращение ∆ x;

 - найти соответствующее приращение функции ∆ y=f(x+∆ x) - f(x);

 - составить отношение ;

 - найти предел этого отношения при ∆ x→0.

Пример. Найти производную функции y=C=const. Производные функции, заданной параметрически

Аргументу x даём приращение ∆ x.

Каково бы ни было x, ∆ y=0: ∆ y=f(x+∆ x) ─ f(x)=С─С=0;

Отсюда =0  и =0, т.е. =0.

Пример. Найти производную функции y= x.

∆ y=f(x+∆ x) ─ f(x)= x+∆ x – x=∆ x;

=1,  =1, т.е. =1.

Пример. Найти производную функции y= x2.

∆ y = (x+∆ x)2 – x2 = 2 x∙∆ x + (∆ x)2;

  = 2 x + ∆ x,  = 2 x, т.е. =2 x.

Пример. Требуется найти производную функции  по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

Найдем частные производные функции:  Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство , воспользуемся формулой (4):

.