Примеры вычисления производной.
Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки. Пусть материальная точка движется по прямой, причём закон движения точки задаётся уравнением S=f(t), где S есть путь, пройденный точкой от момента начала движения до момента времени t. Предположим вначале, что точка движется равномерно, т.е. за равные отрезки времени проходит равные отрезки пути.
Задачи, приводящие к понятию производной Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести.
Механический и геометрический смысл производной. Уравнения нормали и касательной к графику функции.
Понятие дифференцируемости функции
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Для того чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке x, необходимо:
- аргументу x дать приращение ∆ x;
- найти соответствующее приращение функции ∆ y=f(x+∆ x) - f(x);
- составить отношение
;
- найти предел этого отношения при ∆ x→0.
Пример. Найти производную функции y=C=const. Производные функции, заданной параметрически
Аргументу x даём приращение ∆ x.
Каково бы ни было x, ∆ y=0: ∆ y=f(x+∆ x) ─ f(x)=С─С=0;
Отсюда
=0 и
=0, т.е.
=0.
Пример. Найти производную функции y= x.
∆ y=f(x+∆ x) ─ f(x)= x+∆ x – x=∆ x;
=1,
=1, т.е.
=1.
Пример. Найти производную функции y= x2.
∆ y = (x+∆ x)2 – x2 = 2 x∙∆ x + (∆ x)2;
= 2 x + ∆ x,
= 2 x, т.е.
=2 x.
Пример. Требуется найти производную функции
по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).
Найдем частные производные функции:
Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3):
. Принимая во внимание равенство
, воспользуемся формулой (4):
.
На главную |