Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Аналогично, применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

Пример Найти производную функции .

Решение. Интересно, что производные функций и одинаковы.

Пример Доказать равенство

Решение. Продифференцируем обе части выражения и упростим. Следовательно, исходное выражение верно (по крайней мере, с точностью до постоянного слагаемого).

 Пример.

Т.к.  (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

 

   

Итого:

Производная

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx   приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента Dx соответствует беско­нечно малое приращение функции Df.

Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Dy / Dx или, что то же самое (f(x + Dx)  f(x)) / Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y¢ или f¢(x):

 .


На главную