Производная показательной и логарифмической функции
Пример
Вычислить производную функции 
.
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции находим 
Упрощаем: 
Применив формулу двойного
угла 
, получаем окончательный
ответ 
Пример Продифференцировать
.
Решение. Используем
формулы производной сложной функции и производной частного. После небольших преобразований
получаем вполне "приличный" ответ. 
Пример Определить производную функции 
.
Решение. Сначала возьмем производную от произведения функций: 
Дифференцируя отдельные члены и упрощая, получаем 
Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.
Цилиндрическим телом
называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая,
параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической
поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz.
Область D, высекаемая
в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического
тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и
отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней
полусферой 
.
Рис. 1
Обычно тело можно составить из
некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов
цилиндрических тел, составляющих это тело.
Неопределенный интеграл обладает
следующими свойствами:
|
1) ( òf(x) dx )¢=f(x); |
4) òd f(x)=f(x)+C ; |
|
2) òf¢ (x) dx= f(x)+C ; |
5) òkf(x)dx=kòf(x) dx; |
|
3) d òf(x) dx= f(x)dx; |
6) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x) dx+òg(x) dx ; |
|
Если òf(x) dx = F(x) + C,
то òf(ax+b) dx = (a
¹ 0). |
Все
эти свойства непосредственно следуют из определения.
