Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

Для производной используются обозначения: Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

Пример Используя определение, найти производную функции .

Решение. По определению производной

Вычислим двойной интеграл

 

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Замена переменной в неопределенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна, а функция j(t) имеет непрерывную производную j¢(t), то имеет место формула

 ò f(j(t))j¢(t) dt = ò f(x) dx, где x = j(t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1. I = ò cos(t3) t2 dt.  Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.

  .

2. . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

3. . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и

.

4. . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

 .


На главную