Тройные интегралы в декартовых координатах
Вычислить тройной интеграл
где область U ограничена поверхностями
![]()
Выразить тройной интеграл
через повторные интегралы шестью различными способами.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.
Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение
Рис.1 Рис.2Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y. Если область D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями
где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем
В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями
где φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде
Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному. В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед
, тройной интеграл вычисляется по формуле
Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.
На главную |