Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Повторные интегралы

Найти повторный интеграл .

Вычислить .

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II. Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством: Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством:

Рис.1		Рис.2

Связь между двойными и повторными интегралами Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I: Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II: то справедливо соотношение Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.

Определение: Пусть есть функция f(x,y,z), которая задана на множестве D(трёхмерное).

Если D разделим на сумму, то D=

 

 

 

Составим сумму Дарбу: 

Если , If все Дарбу стремятся к одному и тому же числу I , то I-

  -тройной интеграл (x,y,z) по области D

  

  Замечание: Исходя из определения, если функция f 1, то тройной инт. По обл. D