Повторные интегралы
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II. Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством:.
Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством:
![]()
Рис.1 Рис.2Связь между двойными и повторными интегралами Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:
Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде
Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:
то справедливо соотношение
Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.
Определение: Пусть есть функция f(x,y,z), которая задана на множестве D(трёхмерное).
Если D разделим на сумму, то D=
![]()
Составим сумму Дарбу:
Если
, If все Дарбу стремятся к одному и тому же числу I , то I-
-тройной интеграл (x,y,z) по области D
Замечание: Исходя из определения, если функция f
1, то тройной инт. По обл. D
На главную |