Интегральный признак Коши
Пример Определить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл:.
Интегрируем по частям:
Получаем
Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:
![]()
Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится. Фундаментальная система решений
Найти предел
.
;
;
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
.
Пример
![]()
При интегрировании использовали формулы
и
положив
![]()
На главную |