Выполнение курсовой и контрольной работы по математике

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 6).

Решение. Используем соотношение Длина кардиоиды выражается в виде Заметим, что при , и при . Следовательно, Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.

Рис.6		Рис.7

Подстановки Эйлера

1)      Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

2)      Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

3)      Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x₁)(x – x₂), то интеграл вида  рационализируется подстановкой  

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.