Геометрические приложения криволинейных интегралов
Пример Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением
Решение. Используем соотношение(рисунок 6).
Длина кардиоиды выражается в виде
Заметим, что
при
, и
при
. Следовательно,
Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.
![]()
Рис.6 Рис.7 Подстановки Эйлера
1) Если а>0, то интеграл вида
рационализируется подстановкой
.
2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида
рационализируется подстановкой
.
3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида
рационализируется подстановкой
![]()
Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,
т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.
На главную |