Определение и свойства тройных интегралов
Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда(рисунок 1).
Рис.1 Пусть множество чисел {x0, x1, ..., xm} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение
Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz:
Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением
имеет вид
Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi−1, xi)×(yi−1, yi)×(zi−1, zi), а приращения равны
Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде
определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю:
Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед
, включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что
Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:
![]()
Скалярное и векторное поле. Определение и основные свойства градиента, дивергенции, ротора, потока и циркуляции векторного поля
Скалярное и векторное поле.
Определение.Скалярное поле на области
(
) представляет собой произвольную функцию
, определенную на
.
Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения
при заданных значениях C.
Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.
Векторное поле
на области
(или
) – это вектор, координаты которого
являются функциями, определенными на
.
Примеры представляют собой силовое поле,поле скоростей и т.п.
Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е.
) по направлению
,
. Понятие величины отрезка
определяется аналогично и для
. Напоминаем: величина
отрезка
представляет собой его длину со знаком "+", если векторы
и
одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению,
.
Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор
задан направляющими косинусами
, то при условии дифференцируемости
в т.
легко вывести формулу:
, где
- градиент скалярного поля
в точке
.
Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат:
, т.к.
- единичный вектор.
На главную |