Замена переменной в определенном интеграле
Определенный интеграл
по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):
Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями
где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x). Интегрирование по частям для определенного интеграла В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:
где
означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.
Пример
Вычислить интеграл
.
Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
![]()
Исследовать функцию
и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва
, следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.
y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,
y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,
у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.
> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.
На главную |